Uma operação de conjuntos é uma ação matemática que é aplicada a dois ou mais conjuntos para produzir um novo conjunto com base em regras específicas.
Considere dois conjuntos:
A diferença de A e B, denotada por , é o conjunto que contém todos os elementos que estão em A, mas não estão em B.
=
=
pois os elementos 1 e 2 estão em A, mas não estão em B.
Se considerarmos o conjunto universal U = A ∪ B, isto é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, e o conjunto A como dado anteriormente .
O complementar de A em relação a U, denotado por ou AC, é o conjunto de todos os elementos em U que não estão em A.
= U – A
=
=
pois 6 e 7 estão em U, mas não estão em A.
A diferença de dois conjuntos, A e B, nessa ordem, que indicamos por A – B, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e não pertencem a B.
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Lemos A – B como “A menos B”
a) Sendo A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g, h, i}, temos:
A – B = {a, b, c} e B – A = {f, g, h, i}
b) Sendo C = {a, b, c, d, e, f} e D = {c, d, e}, temos:
C – D = {a, b, f} e D – C = Ø
c) Sendo E = {vermelho, azul, branco} e F = {preto, rosa, verde}, temos:
E – F = E e F – E = F
Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos:
P1. B ⊂ A ⇔ B – A = Ø
P2. A ∩ B = Ø ⇔ A – B = A
P3. A ≠ B ⇔ A – B ≠ B – A
Determinar os conjuntos A e B tais que: A – B = {5, 8, 2}, B – A = {3, 6} e A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}.
Determinando a intersecção A ∩ B pela Eq. (3):
A ∩ B = ( A ∪ B) – [(A – B) ∪ (B – A)]
A ∩ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} – ({5, 8, 2} ∪ {3, 6})
A ∩ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} – {2, 3, 5, 6, 8}
A ∩ B = {1, 7}
Determinando o conjunto A pela Eq. (1):
A = (A – B) ∪ (A ∩ B)
A = {5, 8, 2} ∪ {1, 7}
A = {1, 2, 5, 7, 8}
Determinando o conjunto B pela Eq. (2):
B = (B – A) ∪ (A ∩ B)
B = {3, 6} ∪ {1, 7}
B = {1, 3, 6, 7}
Sendo A e B dois conjuntos tais que B ⊂ A, o complementar de B em relação a A, que indicamos por
, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e não pertencem a B.
B ⊂ A ⇔ = { x | x ∈ A e x ∉ B}
Lemos como “complementar de B em relação a A”
a) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3}, temos B ⊂ A; logo, existe , que é igual a A – B, isto é:
= A – B = {4, 5}
b) Sendo A = {a, b, c, d} e B = {e, f, g, h}, temos B ⊄ A; logo, não existe .
O conjunto { x | x ∈ A e x ∉ B} é exatamente a diferença A – B. Assim, temos:
B ⊂ A ⇔ = A – B
Obs.: A condição necessária e suficiente para que exista é que B ⊂ A. Caso contrário dizemos que não existe .
Quando temos um conjunto universo U, previamente fixado, indicamos o completar de A em relação a U simplesmente por A’ em vez de .
Considerando os conjuntos A e B, representados no diagrama abaixo, determinar:
o complementar de (A ∩ B) em relação a (A ∪ B)
Resolução
Para facilitar vamos chamar de (A ∩B)(A ∪ B)o complementar de (A ∩ B) em relação a (A ∪ B)
Como A ∩ B é subconjunto de A ∪ B, então existe o conjunto (A ∩B)(A ∪ B) , que é formado pelos elementos que pertencem a A ∪ B e não pertence A ∩ B. Logo:
(A ∩B)(A ∪ B) = {4, 5, 6, 7, 8}
1.Dados os conjuntos E = {3, 8, 6, 4}, F = {1, 2, 3, 8, 6, 4, 9} e G = {4, 5, 6, 7, 8}, determine:
a) F – E
b) G – E
c) (E ∪ G) – F
d) (F – G) ∪ (G – F)
e) Complementar de E em relação a F
f) Complementar de (E ∩ G) em relação a F
g) Complementar de G em relação a F
h) complementar de E em relação a E
i) complementar de Ø em relação a F
2. Sabendo que:
represente os conjuntos A, B e C em um diagrama de Venn:
