Vimos que um conjunto é uma coleção de objetos únicos.
Os alunos de um colégio formam um conjunto. E cada aluno é um elemento que pertence a esse conjunto.
Assim, cada aluno é um elemento do conjunto A (colégio), que podem ser organizados por subconjuntos: B (series) e C (turmas), e cada subconjunto é um elemento do conjunto A.
Esse exemplo mostra a necessidade de considerarmos conjuntos cujos elementos são subconjuntos. Em Matemática, ocorre esse tipo de situação conforme a seguinte definição:
A teoria dos conjuntos é um ramo fundamental da matemática que lida com conjuntos, que são coleções bem definidas de objetos. A aplicação das partes de um conjunto, também conhecida como conjunto das partes, é uma construção importante nessa teoria.
A aplicação prática dessa ideia é ampla e abrange muitas áreas da matemática e além:
Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, que se indica por P(A), o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Se A é um conjunto finito, podemos calcular o número de elementos de P(A) em função do número de elementos de A.
Na formação de um subconjunto de A, para cada um dos elementos de A há duas possibilidades: o elemento pertencerá ao subconjunto a ser formado ou não.
Assim, um subconjunto de A estará determinado quando escolhermos, para cada elemento de A, uma possibilidade: sim (S), o elemento pertencerá ao subconjunto, ou não (N), o elemento não pertencerá ao subconjunto.
Logo, o número de subconjuntos de A é dado por:
Se um conjunto A possui n elementos, então P(A) é calculado por uma potência de base 2 elevada a n, em que n é a quantidade de elementos do conjunto.
a) O conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} possui 5 elementos; logo, P(A) possui 32 elementos, pois 2^5 = 32.
b) O conjunto B = {a} possui 1 elemento; logo; P(B) possui 2 elementos, pois 2¹= 2 .
c) O conjunto C = Ø possui zero elemento; logo, P(C) possui 1 elemento, pois 2°= 1 .
d) Se o conjunto das partes do conjunto D possui 16 elementos, podemos deduzir que o conjunto D possui 4 elementos, pois 2^4 = 16.
e) Se o conjunto das partes do conjunto E possui 64 elementos, podemos deduzir que o conjunto E possui 6 elementos, pois 2^6 = 64.
Dois conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A.
a) {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}
b) {c, f, b, a, h} = {a, b, c, f, h}
c) Ø = Ø
1.Indicamos que dois conjuntos, A e B, não são iguais por A≠B (lemos: “A é diferente de B”).
2.Observe que {1,2} = {1, 1, 2, 2}, pois todo elemento do primeiro conjunto pertence ao segundo e todo elemento do segundo pertence ao primeiro. Por isso, convencionamos não repetir elementos em um conjunto.
Assim, ao afirmar que um conjunto possui n elementos, fica subentendido que esses elementos são distintos entre si.
1.Determinar P(A) em cada um dos itens a seguir.
a) A = {5, 8}
b) B = {6}
c) C = Ø
2.Quantos subconjuntos possui o conjunto E = {a, e, i, o, u}?
3.Determine os números x e y, sabendo que {1, 2, x} = {3, y, 2}
4.Sejam respectivamente P(A) e P(B) os conjuntos das partes de dois conjuntos finitos A e B quaisquer. Sabendo que A possui um elemento a mais que B, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações.
a) P(A) possui um elemento a mais que P(B).
b) P(A) dois elementos a mais que P(B).
c) P(A) possui o dobro de elementos de P(B).
d) P(A) possui o triplo de elementos de P(B).
e) Algum dos conjuntos, P(A) e P(B), pode ter um número ímpar de elementos.
5.Três conjuntos D, E e F satisfazem as seguintes condições: D ⊂ E, E ⊂ F e F ⊂ D. Pode-se afirmar que:
a) Os três conjuntos são vazios.
b) Os três conjuntos são unitários.
c) Os três conjuntos são iguais.
d) Apenas dois desses conjuntos são iguais.
e) Os três conjuntos são diferentes entre si.
